Konsequente Preis Of Fx Optionen

Konsequente Preisgestaltung von FX-Optionen Transkription 1 Konsequente Preisgestaltung von FX-Optionen Antonio Castagna Fabio Mercurio Banca IMI, Mailand In den aktuellen Märkten werden Optionen mit unterschiedlichen Streiks oder Fälligkeiten in der Regel mit unterschiedlichen impliziten Volatilitäten bewertet. Diese stilisierte Tatsache, die gemeinhin als Smileffekt bezeichnet wird, kann unter Berücksichtigung spezifischer Modelle berücksichtigt werden, entweder für die Preisbildung exotischer Derivate oder für die Ableitung von impliziten Volatilitäten für nicht zitierte Streiks oder Fälligkeiten. Die bisherige Aufgabe wird typischerweise durch die Einführung einer alternativen Dynamik für den zugrunde liegenden Vermögenspreis erreicht, während diese häufig durch statische Anpassungen oder Interpolationen angegangen wird. In diesem Artikel beschäftigen wir uns mit dieser letzteren Frage und analysieren eine mögliche Lösung in einem Devisenmarkt (FX). In einem solchen Markt gibt es in der Tat nur drei aktive Zitate für jede Marktreife (die Straddle, die Risikoumkehr und den vega-gewichteten Schmetterling) und stellt damit das Problem einer konsequenten Bestimmung der anderen impliziten Volatilitäten dar. FX Broker und Market Maker in der Regel dieses Problem mit einem empirischen Verfahren, auch Vanna-Wolga (VV) genannt, um das ganze Lächeln für eine gegebene Reife zu konstruieren. Volatilitätszitate werden dann in Form der Option s angegeben, für Bereiche von der 5 an den 5 anruf. Im Folgenden werden wir dieses Marktverfahren für eine bestimmte Währung überprüfen. Insbesondere werden wir geschlossene Formeln ableiten, um ihre Konstruktion expliziter zu machen. Wir werden dann die Robustheit (in einem statischen Sinn) des daraus resultierenden Lächelns testen, indem wir die drei Anfangspaare des Streiks und der Volatilität immer wieder die gleiche implizite Volatilitätskurve erzeugen. Wir werden auch zeigen, dass das gleiche Verfahren, das auf Europeanstyle-Ansprüche angewendet wird, mit den statischen Replikationsergebnissen übereinstimmt und als Beispiel den praktischen Fall einer quanto-europäischen Option betrachtet. Wir werden endlich beweisen, dass das Marktverfahren auch dynamisch gerechtfertigt werden kann, indem wir eine Hedging-Strategie definieren, die lokal repliziert und selbstfinanziert wird. 2 Eine kurze Beschreibung des FX-Optionsmarktes Im FX-Optionsmarkt wird die Volatilitätsmatrix nach der klebrigen Delta-Regel aufgebaut. Die zugrunde liegende Annahme ist, dass die Optionen je nach Delta bewertet werden, so dass, wenn sich der zugrunde liegende Vermögenspreis bewegt und das Delta einer Option entsprechend ändert, eine andere implizite Volatilität in die Preisformel eingefügt werden muss. 1 2 Der FX-Optionsmarkt ist sehr flüssig, bis zu relativ längeren Abläufen (2 Jahre, zumindest für den EURUSD-Wechselkurs). Die Geldbörse (ATM) ist leicht verfügbar, und die Risikoumkehr (RR) für 25 Call and Put und der (Vega-gewichtete) Butterfly (VWB) mit 25 Flügeln werden auch häufig gehandelt. 1 Aus diesen Daten kann man leicht drei grundlegende implizite Volatilitäten ableiten, aus denen man dann das ganze Lächeln für den Bereich, der von einem 5 auf einen 5 Anruf läuft, nach der Methode, die wir unten skizzieren werden, aufbauen kann. Wir bezeichnen mit S t den Wert eines gegebenen Wechselkurses zum Zeitpunkt t und nehmen konstante in - und ausländische risikofreie Raten an, die jeweils mit r d und r f bezeichnet werden. Wir betrachten dann eine Marktreife T und definieren die entsprechenden Zitate im Folgenden. Die im FX-Markt zitierte ATM-Volatilität ist diejenige einer Straddle, deren Streik für jedes gegebene Verfall so gewählt wird, dass ein Put und ein Call das gleiche haben, aber mit verschiedenen Zeichen (keine Hedge ist erforderlich, wenn man diese Straddle handelt). Wenn der ATM-Streik K AT M durch Sigma AT M die ATM-Volatilität für den Verfall T bedeutet, muss der ATM-Streik K AT M dann erfüllt werden (ln S rb TK Phi AT M (rdrf sigma2 AT M) T) (e rf T Phi ln SK AT M (rdrf Sigma2 AT M) T) Sigma AT MT Sigma AT MT wobei Phi die kumulative Standard-Normalverteilungsfunktion bezeichnet. Gerade Algebra führt zu: K AT M S e (rd r f sigma2 AT M) T (1) Die RR ist eine typische Struktur, bei der man einen Anruf kauft und einen Symmetrisch verkauft. Die RR wird als der Unterschied zwischen den beiden impliziten Volatilitäten, Sigma 25 c und Sigma 25 p zitiert, um in die Black - und Scholes-Formel für den Aufruf und den Put zu stecken. Wenn wir einen solchen Preis in volatilitätsbedingter Weise durch Sigma RR bezeichnen, haben wir: 2 Sigma RR Sigma 25 c Sigma 25 p (2) Die VWB wird aufgebaut, indem sie eine Geldautomaten verkauft und einen 25 erwürgenden Kauf erwirbt. Um Vega-gewichtet zu sein, muss die Menge des ersteren kleiner sein als die Menge der letzteren, da die Vega der Straddle größer ist als die Vega des Erklakes. Der Skema VWB, Sigma VWB, ist dann definiert durch: Sigma VWB Sigma 25 c Sigma 25 p 2 Sigma AT M (3) Für das gegebene Verfall T können die beiden impliziten Volatilitäten Sigma 25 c und Sigma 25 p sein Sofort identifiziert durch die Lösung eines linearen Systems. Wir erhalten: Sigma 25 c Sigma AT M Sigma V W B Sigma RR (4) 1 Wir fallen das Zeichen nach dem Niveau des, in Übereinstimmung mit dem Marktjargon. Daher ist ein 25 Anruf ein Anruf, dessen Delta ist.25. In Analogie ist ein 25 Put ein, dessen Delta ein positives Sigma ist. RR bedeutet, dass der Ruf begünstigt wird, da seine implizite Volatilität höher ist als die implizite Volatilität der negativen Zahl impliziert das Gegenteil. 2 3 Sigma 25 p Sigma AT M Sigma V W B 1 2 Sigma RR (5) Die beiden Streiks, die dem 25 Put und 25 Rufen entsprechen, können nach einfacher Algebra unter Berücksichtigung ihrer jeweiligen Definitionen abgeleitet werden. Zum Beispiel müssen wir für ein 25 Stück dasjenige haben, was sofort führt (e rf T Phi ln S 5 p (rdrf sigma2 25 p) T) .25 Sigma 25 p T 5 p S e alphasigma 25 p T (rdrf sigma2 25 P) T (6) wobei alpha: Phi 1 (1 4 erf T) und Phi 1 die inverse Normalverteilungsfunktion ist. Ähnlich bekommt man auch: 5 c S e alphasigma 25 c T (rdrf sigma2 25 c) T (7) Wir betonen, dass für typische Marktparameter und für Laufzeiten bis zu zwei Jahren Alpha gt und 3 5 p lt K AT M Lt 5 c Im folgenden Abschnitt werden wir erklären, wie man die grundlegenden impliziten Volatilitäten und die damit verbundenen Streiks verwendet, um das gesamte Lächeln für das gegebene Verfall T konsequent zu schließen. Zu diesem Zweck werden wir mit demselben Typ von Optionen arbeiten ( ZB Anrufe), direkt unter Berücksichtigung ihrer Marktpreise (statt Volatilitäten). Um die Notation zu erleichtern und die zukünftigen Formeln zu vereinfachen, werden wir die zitierten Streiks (für die gegebene Reife T) durch K i, i 1, 2, 3, lt Kt 3, 4 und Satz K bezeichnen. Die damit verbundenen (Markt-) Optionspreise, die jeweils mit C MKT (), C MKT () und C MKT (K 3) bezeichnet werden, werden als Standard-No-Arbitrage-Bedingungen angenommen. 3 Das VV-empirische Marktverfahren Betrachten wir eine europäische Call-Option mit Laufzeit T und Streik K, deren Black - und Scholes-Preis zum Zeitpunkt t mit C BS (t K) bezeichnet wird (ln S C C (t K) S te Rf tau K Phi (rd rf 1) (2 sigma2) tau ln S t sigma Ke rdtau Phi K (rd rf 1) 2 sigma2) tau tau sigma tau (8) wobei tau: T t und sigma ein gegebener flüchtigkeitsparameter ist . Es ist bekannt, dass im Rahmen des Black-Scholes (1973) (BS) - Modells die Call-Auszahlung durch eine dynamische Abrechnungsstrategie repliziert werden kann, deren Anfangswert (umfangreich des Bankkontoteils) dem Optionspreis entspricht (8). In realen Finanzmärkten jedoch Volatilität 3 Für lange Laufzeiten ist es Marktpraxis, den Devisenterminkurs als ATM-Streik zu betrachten. 4 und K 3 jeweils 5 p, K AT M und 5 c ersetzen. 3 4 ist stochastisch und Händler sichern das damit verbundene Risiko durch den Aufbau von Vega-neutralen Portfolios. Angesichts der Besonderheit des FX-Optionsmarktes können auch Portfolios konstruiert werden, um partielle Ableitungen bis zur zweiten Ordnung abzustimmen, so dass wir bei Ito s Lemma eine perfekte Absicherung in einem unendlichen Zeitintervall haben, siehe auch Abschnitt 9 unten. Das empirische Verfahren beruht auf der Ableitung eines solchen Hedging-Portfolios für den obigen Aufruf mit der Reife T und dem Streik K. Gerade wollen wir Zeit-t-Gewichte x 1 (t K), x 2 (t K) und x 3 (t K), so dass das daraus resultierende Portfolio europäischer Anrufe mit Fälligkeit T und Streiks und K 3 die Preisvariationen des Anrufs mit Laufzeit T und Streik K bis zur zweiten Order im Basiswert und der Volatilität absichert. Unter der Annahme einer abgesonderten Position und in der BS-Welt sind auch Portfolios von Plain-Vanilla-Optionen (mit der gleichen Reife), die Vega-neutral sind, ebenfalls Gamma-neutral, die Gewichte x 1 (t K), x 2 (t K) Und x 3 (t K) kann dadurch gefunden werden, dass das replizierende Portfolio die gleiche Vega, dvegadvol (volga) und dvegadspot (vanna) als Aufruf mit Streik K hat, nämlich C BS (t K) sigma 2 C BS (t K) 2 Sigma 2 C BS Sigma S t (t K) BS C xi (t K) Sigma (t K i) xi (t K) 2 C BS 2 Sigma (t K i) xi (t K) 2 C BS Sigma S t (t K i) (9) Mit V (t K) die Zeit-t Vega einer europäischen Option mit (Reife T und) Streik K, V (t K) C BS Sigma (t K) S te (X) Phi (x) 1 e 1 2 x2 2pi (1) und berechnender zweiter Ordnung (d) (d 1 (t K)) d 1 (t K) ln S t K (rd rf sigma2) tau sigma tau (x) Derivate können wir folgendes beweisen. 2 c BS V (t K) (t K) (t K) d 2 1 (t K) d 2 (t K) Sigma Sigma 2 C BS V (t K) (t K) Sigma S t S t sigma tau d 2 (t K) d 2 (t K) d 1 (t K) sigma tau 4 5 Proposition 3.1. Das System (9) gibt immer eine eindeutige Lösung an, die durch x 1 (t K) x 2 (t K) x 3 (t K) V (t K) ln KKV (t) ln V (t K) V gegeben ist (T) V (t K) V (t K 3) ln KK ln ln K ln K (11) Insbesondere wenn KK j dann xi (t K) 1 für ij und null sonst ist. Beweis. Siehe Anhang. 4 Der daraus resultierende Optionspreis Wir können nun mit der Definition eines Optionspreises übereinstimmen, der mit den Marktpreisen der Basisoptionen übereinstimmt. Ein lächelnd-konsequenter Preis für den Aufruf mit Streik K wird durch Hinzufügen des BS-Preises zu den Kosten für die Umsetzung der obigen Absicherungsstrategie zu den aktuellen Marktpreisen erhalten. In den Formeln ist für t, C (K) C BS (K) xi (K) C MKT (K i) C BS (K i) (12), wo zur Erleichterung der Notation die Abhängigkeit von der Bewertungszeit t nachstehend erfolgt Weggelassen bei Null. 5 Der neue Optionspreis wird somit durch Addition des flachen smile BS-Preises durch die Kostendifferenz des Hedging-Portfolios, die durch den Markt impliziert wird, implizite Volatilitäten in Bezug auf das konstante Volatilitäts-Sigma definiert. Robustheit und Konsistenzergebnisse für den Optionspreis (12) sind unten angegeben. Wenn K K j wir eindeutig C (K j) C MKT (K j) haben, da x i (K) 1 für i j und null sonst. Daher definiert (12) nichts als eine Regel für die Interpolation oder Extrapolation von Preisen aus den drei Optionsanmerkungen C MKT (), C MKT () und C MKT (K 3). Eine implizite Volatilitätskurve kann dann durch Invertieren (12) für jedes betrachtete K durch die BS-Formel konstruiert werden. Ein Beispiel für eine solche Kurve ist in Abbildung 1 dargestellt, wo wir implizierte Volatilitäten sowohl gegen Streiks als auch gegen Deltas setzen. Wir verwenden die folgenden EURUSD-Daten zum 1. Juli 25: T 3m (94365y), S 1,25, Sigma AT M 9,5, Sigma RR .5, Sigma VWB .13, die zu Sigma 25 c 8,93, Sigma 5 c 9,5, Sigma führen 25 p 9.43, K ATM. 5 p und 5 c Siehe auch Tabellen 1 und 2. 5 Dieser Preis hängt vom Volatilitätsparameter Sigma ab. In der Praxis ist die typische Wahl, Sigma Sigma AT zu setzen. 5 6 Volatilität Streik Put Delta Abbildung 1: EURUSD implizite Volatilitäten sowohl gegen Streiks als auch gegen Deltas, wo die drei Marktgrundzitate hervorgehoben werden. Der Optionspreis C (K) als Funktion des Streiks K erfüllt die folgenden (noarbitrage) Bedingungen: i) CC 2 ((,)) ii) lim KC (K) S e rf T und lim KC (K) Iii) lim dc K (K) dk e rdt und lim KK dc (K). Dk Die zweite und dritte Eigenschaft, die durch C BS (K) trivial erfüllt sind, folgt aus der Tatsache, daß für jedes i sowohl x i (K) als auch dx i (K) dK für K oder K auf Null gehen. Um Arbitrage-Chancen zu vermeiden, sollte der Optionspreis C (K) auch eine konvexe Funktion des Streiks K sein, d. h. 2 C d (K) gt für jedes K gt. Diese Eigenschaft, die in d allgemein nicht wahr ist, gilt jedoch für typische Marktparameter, so dass (12) in der Tat zu Preisen führt, die in der Praxis arbitragefrei sind. 5 Eine Annäherung für implizite Volatilitäten Die obige Definition des Optionspreises, kombiniert mit unserer analytischen Formel (11) für die Gewichte, ermöglicht die Ableitung einer direkten Approximation für die implizite Volatilität, die mit (11) verbunden ist. Dies wird im Folgenden beschrieben. Proposition 5.1. Die implizite Volatilitätssigma (k) für die obige Option mit dem Preis C (K) wird annähernd durch Sigma (k) Sigma 1 (K) gegeben: ln KK Sigma ln 25 p ln KK Sigma ln ATM ln K ln K Sigma 25 c ( 13) 6 Man kann tatsächlich Fälle finden, in denen die Ungleichung für einen Streik verletzt wird. 6 7 wahres Lächeln Annäherung.11 wahres Lächeln Annäherung Strike Put Delta Abbildung 2: EURUSD implizite Volatilitäten und ihre Annäherungen, sowohl gegen Streiks als auch gegen Deltas. Beweis. Siehe Anhang. Das implizite Volatilitätssigma (k) kann also durch eine lineare Kombination der Grundvolatilitäten mit den Kombinatoren y i (K), die bis zu einer (so langwierige, aber gerade Algebra-Shows) zusammenfallen, angenähert werden. Es ist auch leicht ersichtlich, dass die Approximation eine quadratische Funktion von ln K ist, so dass man auf eine einfache parabolische Interpolation zurückgreifen kann, wenn Log-Koordinaten verwendet werden. Eine graphische Darstellung der Güte der Näherung (13) ist in Fig. 2 dargestellt, wo wir dieselben EURUSD-Daten wie in Fig. 1 verwenden. Die Näherung (13) ist innerhalb des Intervalls K & sub3; extrem genau. Die Flügel, Neigen dazu, überbewertet zu werden In der Tat, da die funktionale Form quadratisch im Logstrike ist, werden die von Lee (24) für den asymptotischen Wert der impliziten Volatilitäten abgeleiteten No-Arbitrage-Bedingungen hier verletzt. Dieser Nachteil wird durch eine zweite, präzisere Annäherung angesprochen, die bei extremen Streiks asymptotisch konstant ist. Satz 5.2. Das implizite Volatilitätssigma (k) kann wie folgt besser angenähert werden: wobei Sigma (k) Sigma 2 (K): Sigma Sigma Sigma 2 d 1 (K) d 2 (K) (2SigmaD 1 (K) D 2 (K) ) D 1 (K) d 2 (K) D 1 (K): ln KK Sigma ln 25 p ln KK Sigma ln ATM ln K ln K Sigma 25 c Sigma Sigma 1 (K) Sigma D 2 (K): ln KK Ln d 1 () d 2 () (sigma 25 p sigma) 2 ln K ln K ln K d 1 (K 3) d 2 (K 3) (Sigma 25 c Sigma) 2 7, (14) K d ln 1 (Sigma ATM sigma) 2 8 .115 true smile approximation.115 true smile approximation Strike Put Deltas Abbildung 3: EURUSD implizite Volatilitäten und ihre Annäherungen, sowohl gegen Streiks als auch gegen Deltas. Und d 1 (x) ln S x (r d r f sigma 2) T sigma, d 2 (x) d 1 (x) sigma T, x T Beweis. Siehe Anhang. Wie wir aus Abbildung 3 sehen können, ist die Näherung (14) auch in den Flügeln äußerst genau. Sein einziger Nachteil ist, dass es nicht durch das Vorhandensein eines Quadratwurzelbegriffs definiert werden kann. Der Radikal ist jedoch in den meisten praktischen Anwendungen positiv. 6 Ein erstes Konsistenzergebnis für den Preis C (K) Wir geben nun zwei wichtige Konsistenzergebnisse für den Optionspreis (11) an und geben dem oben genannten empirischen Verfahren weitere Unterstützung. Das erste Ergebnis ist wie folgt. Man darf sich fragen, was passiert, wenn wir unsere Kurvenbaumethode anwenden, wenn wir von drei anderen Streiks beginnen, deren zugehörige Preise mit denen der Formel (12) übereinstimmen. Klar, denn unser Vorgehen soll robust sein, wir wollen, dass die beiden Kurven genau übereinstimmen. In der Tat betrachten wir einen neuen Satz von Streiks H: und bezeichnen die vorherigen Gewichte x i (K) mit x i (K K), um die Abhängigkeit von der Menge der anfänglichen Streiks zu betonen. Analog wird xi (KH) die Gewichte für den Streik K bezeichnen, die aus dem neuen Satz von Streiks H abgeleitet werden. Der Optionspreis für jedes H i ist nach Annahme gleich dem von (12), dh CH (H. I) CK (H i) C BS (H i) xj (H i K) C (K j) C BS (K j) (15) j1 8 9 wobei die Hochschriften H und K den Satz von Streiks auf die Preisfindung hervorheben basiert auf. Für einen generischen Streik K wird der mit H verbundene Optionspreis analog zu (12) durch C H (K) C BS (K) x j (K H) C H (H j) C BS (H j) definiert. J1 Satz 6.1. Die Aufrufpreise, die auf H basieren, stimmen mit denen überein, die auf K basieren, nämlich für jeden Streik K, C H (K) C K (K) (16) Beweis. Siehe Anhang. 7 Ein zweites Konsistenzergebnis für den Preis C (K) Ein zweites Konsistenzergebnis, das für den Optionspreis (11) nachgewiesen werden kann, betrifft die Preisgestaltung von Derivaten im europäischen Stil und deren statische Replikation. Zu diesem Zweck geht man davon aus, dass h eine reale Funktion ist, die definiert ist,), ist im Unendlichen gut verhalten und ist im Sinne von Verteilungen zweimal differenzierbar. Angesichts der einfachen Behauptung mit Auszahlung h (s T) zum Zeitpunkt T bezeichnen wir mit V seinen Preis zur Zeit, unter Berücksichtigung des Lächelnseffekts. Von Carr und Madan (1998) haben wir: V e rdt h () S e rf T h () h (x) c (x) dx Dasselbe gilt für die Erstellung der impliziten Volatilitätskurve Die allgemeine Auszahlung h (s T). Wir können so ein Portfolio von europäischen Anrufen mit Reife T und Streiks und K 3 konstruieren, so dass das Portfolio die gleiche Vega, Dvegadvol und Dvegadspot wie das gegebene Derivat hat. Wenn man durch V BS den Anspruchspreis unter dem Modell Black and Scholes (1973) annimmt, wird dies durch die Suche nach Gewichten xh 1, xh 2 und xh 3 erreicht, so dass V BS Sigma 2 V BS 2 Sigma 2 V BS Sigma S xhixhixhi C BS Sigma (K i) 2 C BS 2 Sigma (K i) 2 C BS Sigma S (K i), die immer eindeutig existieren, wie bereits in Proposition 3.1 bewiesen. Wir können dann einen neuen (lächelnkonsistenten) Preis für unser Derivat als V V BS x h i C (K i) C BS (K i) (17) 9 10 Proposition 7.1 definieren. Der mit den Optionspreisen C vereinbarte Forderungspreis entspricht dem Forderungspreis, der durch die Anpassung des Black - und Scholes-Preises durch die Kostendifferenz des Hedging-Portfolios bei der Nutzung der Marktpreise C (K i) anstelle der konstanten Volatilitätspreise erreicht wird C BS (K i). In den Formeln V V Beweis. Siehe Anhang. Dieser Satz stellt ein klares Konsistenzergebnis für (europäische) einfache Ansprüche dar. In der Tat, wenn wir das Hedging-Portfolio für die Forderung unter flacher Volatilität berechnen und dem Schadenspreis (berechnet mit dem Black and Scholes-Modell) die Kostendifferenz des Hedging-Portfolios (Marktpreis abzüglich konstanter Volatilitäts - preis) hinzufügen, Anspruchspreis, der durch die risikoneutrale Dichte erhalten wird, die durch die mit dem Marktlächeln im Einklang stehenden Call-Option-Preise verbunden ist. Dieses nützliche Ergebnis wird im folgenden Abschnitt auf den speziellen Fall einer Quanto-Option angewendet. 8 Ein Beispiel: Smile konsistente Preisgestaltung einer Quanto-Option Eine Quantenoption ist ein Derivat, das bei Fälligkeit T der Betrag Omega (s TX) in Fremdwährung ausschüttet, was gleichbedeutend mit Omega (s TX) ST in Inlandswährung ist, wobei Omega 1 Für einen Anruf und Omega 1 für einen Put. Standard-Argumente für die statische Replikation implizieren, dass Quanto-Call - und Put-Preise in Form von Plain-Vanilla-Aufruf geschrieben werden können und die Preise wie folgt einstellen QCall (T, X) 2 X QPut (T, X) XP (X) 2 C (K) Dk XC (X) XP (K) dk (18) wobei P (X) der Put-Preis mit Streik X und Reife T ist, dh P (X) C (X) S e rf TX e rdt. Wir überprüfen nun mit realen Marktdaten, dass die Quanto-Optionspreise (18) den Preisen (17) entsprechen, die aus Hedging-Argumenten stammen. Zu diesem Zweck verwenden wir die Marktdaten zum 1. Juli 25, wie in den Tabellen 1 und 2 angegeben. Unsere Berechnungen sind in Tabelle 3 aufgeführt, in der die mit Hedging-Argumenten, dh mit der Formel (17) berechneten Quanto-Optionspreise verglichen werden Mit den statischen Replikationspreisen (18), die durch die Verwendung von 5 und 3 Schritten erhalten werden, bzw. einen ständigen Streikschritt von 15 und 25. 7 Die prozentualen Unterschiede zwischen diesen Preisen werden ebenfalls angezeigt. 7 Die Integrale in (18) können natürlich mit effizienteren Prozeduren berechnet werden. Hier wollen wir aber nur die Richtigkeit unseres Preisverfahrens zeigen. 1 11 Verfall USD Diskontfaktor EUR Abzinsungsfaktor 3m: 31 y: 37 Tabelle 1: Marktdaten zum 1. Juli 25. Delta 3M 1Y 25 Put ATM 25 Aufruf Tabelle 2: Streiks und Volatilitäten entsprechend den drei Hauptdelta s, as Vom 1. Juli 25. Der Zweck dieses Beispiels ist auch, zu zeigen, dass Quanto-Optionspreise, konsequent mit dem Marktlächeln, durch die Verwendung von nur drei europäischen Optionen und nicht ein Kontinuum von Streiks, wie impliziert von (18) abgeleitet werden kann. 9 Robustheit des Preisprozesses Wir schließen den Artikel, indem wir das empirische Preisverfahren auch dynamisch motivieren. Der scheinbar willkürliche Ansatz der Nullstellung von Teilderivaten von BS-Preisen bis zum zweiten Auftrag kann durch die Tatsache gerechtfertigt werden, dass das BS-Modell bei der Bewertung eines Optionsbuches noch ein Maßstab ist. Es gibt mehrere Gründe für diese Tatsache, abgesehen von der offensichtlichen historischen: i) Einfache Implementierung ii) klare und intuitive Bedeutung der Modellparameter iii) leicht verfügbare Empfindlichkeiten und iv) Möglichkeit der expliziten Formeln für die meisten Auszahlungen. Kein anderes Modell besitzt alle diese Funktionen zur gleichen Zeit. 8 Eigentlich ist es nicht so eine seltsame Praxis, ein FX-Optionsbuch zu betreiben, indem es es nach einem Flat-Smile-BS-Modell umwertet und absichert, obwohl die ATM-Volatilität kontinuierlich auf dem Handelsmarktniveau aktualisiert wird. 9 Wir beweisen nun, dass, wenn europäische Optionen alle mit der gleichen (stochastischen) impliziten Volatilität bewertet werden (sagen wir die ATM-Volatilität), die Wertänderungen des Hedging-Portfolios lokal die des gegebenen Aufrufs verfolgen. Zu diesem Zweck betrachten wir eine generische Zeit t und übernehmen Ito-ähnliche Dynamik für die Volatilität Sigma Sigma t. Wir haben also durch Ito s Lemma, DC BS (t K) C BS (t K) dt C BS (t K) ds t C BS (t K) dsigma tt S Sigma C BS (t K) (ds 2 S 2 t) (19) C BS (t K) (dsigma 2 sigma 2 t) C BS (t K) ds t dsigma t S sigma 8 Eine mögliche Ausnahme ist das unsichere Parametermodell von Brigo, Mercurio und Rapisarda (24) . 9 Kontinuierlich bedeutet typischerweise ein tägliches oder etwas häufigeres Update. 11 12 Strike Verfall 3M 1Y 3M 1Y 3M 1Y Hedging-Argumente Aufruf Put Statische Replikation (5 Stufen) Aufruf Pct Diff Put Pct Diff Statische Replikation (3 Schritte) Aufruf Pct Diff Put Pct Diff Tabelle 3: Vergleich der Quanto Option Preise durch Formeln ( 17) und (18). Unter der Annahme einer abgesenkten Position und dass die Streiks K i die zum Anfangszeitpunkt abgeleiteten sind, erhalten wir sofort dc BS (t K) C BS (t K) xi (t K) dc BS (t K i) t C BS (T K) Sigma xi (t K) S Sigma xi (t K) C BS (t K i) dt txi (t K) 2 S 2 C BS (t K) 2 Sigma 2 2 C BS (t K) K) C BS (t K i) Sigma dsigma txi (t K) 2 C BS (t K i) S 2 xi (t K) 2 C BS (t K i) sigma 2 xi (t K) 2 C BS ( T K i) S Sigma (ds t) 2 (dsigma t) 2 ds t dsigma t Der zweite, vierte und fünfte Term in der RHS von (2) sind null durch Definition der Gewichte xi, während der dritte Null ist Die Beziehung verbindet Optionen Gamma und Vega in der BS Welt. Aus demselben Grund und dem Abrufen, dass jede Option - hedged ist, haben wir auch (2) 12 13 so, dass C BS (t K) t dc BS (t K) xi (t K) C BS (t K i) (T K) xi (t K) x BS (t K) x BS (t K i) T K i) dt (22) Der Ausdruck in der RHS dieser Gleichung ist zum Zeitpunkt t bekannt. Daher hat das Portfolio aus einer langen Position im Aufruf mit Streik K und drei kurzen Positionen in x i (t K) Anrufe mit Streik K i ist lokal risikofrei zum Zeitpunkt t, da keine stochastischen Begriffe in seinem Differential beteiligt sind. Wie bereits bekannt ist, ist bei dem BS-Paradigma längst der Aufruf mit Streik K und kurzem C BS S-Aktien des zugrunde liegenden Vermögenswertes gleichbedeutend mit einem lokal risikolosen Portfolio. Wenn die Volatilität stochastisch ist und die Optionen noch mit der BS-Formel bewertet werden, können wir noch eine (lokal) perfekte Hecke haben, vorausgesetzt, dass wir passende Mengen von drei verschiedenen Optionen haben. Man kann sich fragen, warum wir drei Möglichkeiten brauchen, um die Ungewissheit aufgrund einer stochastischen Volatilität auszuschließen, und nicht nur eine, wie es typischerweise passiert, wenn man eine weitere (eindimensionale) Quelle der Zufälligkeit einführt. Der Grund ist zweifach. Zuerst verwenden wir kein konsequentes Modell, sondern einfach ein Bewertungsverfahren. In der Tat kann kein zweidimensionales Diffusions-stochastisches Volatilitätsmodell flaches Lächeln für alle Fälligkeiten produzieren. Zweitens nehmen wir keine spezifische Dynamik für den zugrunde liegenden und die Volatilität an, sondern nur eine allgemeine Diffusion. Die drei Optionen sind in der Tat auch erforderlich, um das Modellrisiko auszuschließen, da unsere Absicherungsstrategie unabhängig von der wahren Vermögens - und Volatilitätsdynamik (unter der Annahme von keinem Sprung) abgeleitet wird. 1 Schlussfolgerungen Wir haben ein marktreaktives Verfahren beschrieben, um implizite Volatilitätskurven im Devisenmarkt zu konstruieren. Wir haben gesehen, dass die lächelnde Konstruktion zu einer Preisformel für jeden europäischen Kontingentanspruch führt. Wir haben dann bewährte Konsistenzergebnisse auf der Grundlage statischer Replikation und auf Hedging-Argumenten. Das Lächeln Bauverfahren und die damit verbundene Preisformel sind eher allgemein. In der Tat, obwohl sie für FX-Optionen entwickelt wurden, können sie in jedem Markt angewendet werden, wo drei Volatilitätszitate für eine gegebene Fälligkeit verfügbar sind. Ein letztes, ungelöstes Problem betrifft die Bewertung von exotischen Optionen durch eine Verallgemeinerung des empirischen Verfahrens, das wir in diesem Artikel dargestellt haben. Dies ist im allgemeinen ein ganz komplexes Thema, mit dem man bedenkt, daß die gegenwärtigen impliziten Volatilitäten nur Informationen über die Randdichten enthalten, was natürlich nicht für die Bewertung von wegabhängigen Derivaten ausreicht. Für exotische Ansprüche werden in der Regel Ad-hoc-Verfahren eingesetzt. 13 14 Zum Beispiel können Barrier-Optionspreise durch Abwägung der Kostendifferenz der Replikationsstrategie durch die (risikoneutrale) Wahrscheinlichkeit erhalten werden, die Barriere vor der Fälligkeit nicht zu überschreiten. Allerdings sind nicht nur solche Anpassungen schwieriger, theoretisch zu rechtfertigen als die im einfachen Vanille-Fall, sondern aus praktischer Sicht können sie auch gegensätzliches Zeichen in Bezug auf das, was in Marktpreisen angedeutet ist. Anhang A: die Beweise Proof of Proposition 3.1. Das Schreiben des Systems (9) in der Form x 1 (t K) A x 2 (t K) B, x 3 (t K) geradlinige Algebra führt zu det (a) V (t) V (t) V (t K (T) d 2 (t) d 2 (t) d 2 (t K 3) d 2 (t K 3) T d 1 (t) d 2 (t) (T K 3) d 2 (t K 3) d 2 (t) d 2 (t) d 1 (t) d 2 (t) d 1 (t) d 2 (t K 3) T) d 2 (t) V (t) V (t) V (t K 3) S Sigma 5 T 2 ln (23), die strikt positiv ist, da lt l K 3 ist. Daher gibt (9) eine eindeutige Lösung und (11) folgt aus Cramer s Regel. Proof of Proposition 5.1. Bei der ersten Ordnung im Sigma hat man C (K) C BS (K) xi (K) V (K i) Sigma (ki) Sigma, das, erinnert (11) und die Tatsache, dass 3 xi (k) v (ki ) V (K) C (K) V (K) yi (K) Sigma (K i) sigma, wobei y 1 (K) ln KK ln y 2 (K) ln KK ln y ist 3 (K) ln K ln K 14 15 Dann folgt (13) aus dem Taylor-Expansions-C (K) C BS (K) V (K) Sigma (K) - Sigma erster Ordnung. Proof of Proposition 5.2. Bei der zweiten Ordnung im Sigma hat man C (K) C BS (K) Analog kann man also xi (K) V (K i) (Sigma (ki) Sigma) C BS 2 2 Sigma (K i) Sigma (K) Sigma) 2 Sigma V (K) (Sigma (K) (Sigma (K) K) Sigma (K i) (Sigma (Ki) Sigma) C BS (K) (Sigma (K) 2 Sigma) 2, Sigma 2 C BS 2 Sigma (K i) (Sigma (ki) Sigma) 2 Die Lösung dieser algebraischen Gleichung zweiter Ordnung in Sigma (k) führt dann zu (14). Proof of Proposition 6.1. Die Gleichheit (16) gilt genau dann. (Kj) CH (HJ) C BS (Hj) j1 xi (KK) C (K i) C BS (K i) Unter Verwendung von (15) und Umordnungstermen kann die linke Seite als xj (KH) geschrieben werden (K i) c (K i) c BS (K i) j1 xj (Kh) xi (H j K) C (K i) C BS (K i) j1, die der rechten Seite der obigen Gleichheit entspricht, da für jeden Schlag K und j 1, 2, 3, xi (KK) xj (KH) xi (H j K) (24) j1 folgt Aus einer langwierigen, aber unkomplizierten Anwendung der Formel (11) für die Gewichte. 15 16 Proof of Proposition 7.1. Für jeden Operator L haben wir LV BS L e rdt h () S e rf T h () h (K) C BS (K) dk h (K) LC BS (K) dk, die nach Definition der Gewichte xi ( K) xi (K) LC BS (K i) dk h (K) xi (K) LC BS (K i) dk h (K) xi (K) dk LC BS (K i ) Durch die Eindeutigkeit der Gewichte xhi haben wir also xhi Einsetzen in (17) erhalten wir VV BS V BS V BS h (K) h (K) xi (K) dk, i 1, 2, 3 h (K) (K i) C BS (K i) C (K i) C (K i) C (K i) C BS (K i) Dk 11 Anhang B: die implizite risikoneutrale Dichte Der VV-Preis (12) wird ohne spezifische Annahmen über die Verteilung des Basiswertes definiert. Allerdings bestimmt die Kenntnis der Optionspreise für jeden möglichen Streik implizit eine einmalige risikoneutrale Dichte, die mit ihnen übereinstimmt. In der Tat, 16 17 8 7 Vanna Volga Bamps Abbildung 4: Vanna-Wolga Risiko-neutrale Dichte im Vergleich zu den lognormalen aus dem BS-Modell mit ATM-Volatilität. Durch das allgemeine Ergebnis von Breeden und Litzenberger (1978) kann die risikoneutrale Dichte p T des Wechselkurses ST durch Differenzierung des doppelten Optionspreises (12) erhalten werden: p T (K) e rd T 2 C (K) Erd T 2 C BS (K) erd T i 2 xi (K) C MKT (K i) C BS (K i). (25) Der erste Term in der RHS ist die logarithmische Dichte p BS T, die mit der geometrischen Brownschen Bewegung mit Driftrate r d r f und Volatilitätssigma assoziiert ist. Der zweite Term, der die Abweichung von der durch das VV-Lächeln hervorgerufenen Lognormalität ist, ist stärker involviert und kann durch Differenzierung der doppelten Gewichte (11) berechnet werden. Wir erhalten: 2 x 1 K (K) 2 2 x 3 K (K) 2 V (K) Sigma 2 TV () ln 2sigma T d 1 (K) ln K 3 V (K) sigma 2 TV (K 3) 2 Sigma T d 1 (K) 2 Sigma T d 1 (K) 1) ln (Sigma 2 T ln K) 2 K K 2 (d1 (K) 2 Sigma T d 1 (K) 1) ln (Sigma 2 T ln K) 1K KKK ln KA-Darstellung der risikoneutralen Dichte, die mit (12) assoziiert ist, ist in Abbildung 4 dargestellt, wo sie mit der entsprechenden logarithmischen Dichte p BS T verglichen wird. 17 18 Referenzen 1 Black, F. Und Scholes, M. (1973) Die Preisgestaltung von Options - und Unternehmensverbindlichkeiten. Journal of Political Economy 81, 2 Breeden, D. T. und Litzenberger, R. H. (1978) Preise für staatlich bedingte Forderungen implizit in Optionspreisen. Journal of Business 51, 3 Brigo, D. Mercurio, F. und Rapisarda, F. (24) Lächeln auf die Ungewissheit. Risiko 17 (5), 4 Carr, P. P. Und Madan, D. B. (1998) Auf dem Weg zu einer Theorie des Volatilitätshandels. In VOLATILITÄT eds. R. A. Jarrow Risk Books 5 Lee, R. W. (24) Die Momentformel für implizite Volatilität bei extremen Streiks. Mathematische Finanzen 14 (3), Konsequente Preisgestaltung von FX Optionen Antonio Castagna Fabio Mercurio In den aktuellen Märkten werden Optionen mit unterschiedlichen Streiks oder Fälligkeiten in der Regel mit unterschiedlichen impliziten Volatilitäten bewertet. Diese stilisierte Tatsache, die gemeinhin als & ldquor; effektiver Effekt "bezeichnet wird, kann unter Berücksichtigung spezifischer Modelle entweder für die Preisbildung exotischer Derivate oder für die Ableitung von impliziten Volatilitäten für nicht zitierte Streiks oder Fälligkeiten berücksichtigt werden. Die bisherige Aufgabe wird typischerweise durch die Einführung einer alternativen Dynamik für den zugrunde liegenden Vermögenspreis erreicht, während diese häufig durch statische Anpassungen oder Interpolationen angegangen wird. In diesem Artikel beschäftigen wir uns mit dieser letzteren Frage und analysieren eine mögliche Lösung in einem Devisenmarkt (FX). In einem solchen Markt gibt es in der Tat nur drei aktive Anführungszeichen für jede Marktreife (die 0Delta-Straddle, die Risikoumkehr und der vega-gewichtete Butterfly) und stellt damit das Problem einer konsequenten Ermittlung der anderen impliziten Volatilitäten dar. FX brokers and market makers typically address this issue by using an empirical procedure to construct the whole smile for a given maturity. Volatility quotes are then provided in terms of the options Delta, for ranges from the 5Delta put to the 5Delta call. In the following, we will review this market procedure for a given currency. In particular, we will derive closed-form formulas so as to render its construction more explicit. We will then test the robustness (in a static sense) of the resulting smile, in that changing consistently the three initial pairs of strike and volatility produces eventually the same implied volatility curve. We will also show that the same procedure applied to Europeanstyle claims is consistent with static-replication results and consider, as an example, the practical case of a quanto European option. We will finally prove that the market procedure can also be justified in dynamical terms, by defining a hedging strategy that is locally replicating and self-financing. Number of Pages in PDF File: 15 Keywords: FX option, smile, consisten pricing, stochastic volatility JEL Classification: G13 Date posted: January 5, 2006Consistent Pricing of FX Options Antonio Castagna Fabio Mercurio In the current markets, options with different strikes or maturities are usually priced with different implied volatilities. This stylized fact, which is commonly referred to asfsmile effect, can be accommodated by resorting to specific models, either for pricing exotic derivatives or for inferring implied volatilities for non quoted strikes or maturities. The former task is typically achieved by introducing alternative dynamics for the underlying asset price, whereas the latter is often tackled by means of statical adjustments or interpolations. In this article, we deal with this latter issue and analyze a possible solution in a foreign exchange (FX) option market. In such a market, in fact, there are only three active quotes for each market maturity (the 0Delta straddle, the risk reversal and the vega-weighted butterfly), thus presenting us with the problem of a consistent determination of the other implied volatilities. FX brokers and market makers typically address this issue by using an empirical procedure to construct the whole smile for a given maturity. Volatility quotes are then provided in terms of the options Delta, for ranges from the 5Delta put to the 5Delta call. In the following, we will review this market procedure for a given currency. In particular, we will derive closed-form formulas so as to render its construction more explicit. We will then test the robustness (in a static sense) of the resulting smile, in that changing consistently the three initial pairs of strike and volatility produces eventually the same implied volatility curve. We will also show that the same procedure applied to Europeanstyle claims is consistent with static-replication results and consider, as an example, the practical case of a quanto European option. We will finally prove that the market procedure can also be justified in dynamical terms, by defining a hedging strategy that is locally replicating and self-financing. Number of Pages in PDF File: 15 Keywords: FX option, smile, consisten pricing, stochastic volatility JEL Classification: G13 Date posted: January 5, 2006